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第1章 概论1

1.1 数学物理方程1

1.1.1 方程的分类2

1.2 偏微分方程的基本概念3

1.2.1 基本概念3

1.2.2 算子与线性算子5

习题16

第2章 数学模型的建立及定解问题8

2.1 马尔萨斯人口模型8

2.2 单摆问题9

2.3 CT成像的重建算法-Lambert-Beer定律10

2.4 弦振动问题11

2.5 膜振动问题13

2.6 热传导问题15

2.7 电磁场问题17

2.8 定解问题及问题的适定性18

2.8.1 定解条件和定解问题18

2.8.2 定解问题的适定性概念23

第3章 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简24

3.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类24

3.2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简25

3.3 化二阶线性偏微分方程为标准型27

习题330

第4章 特征线积分法31

4.1 达朗贝尔（D'Alembert）公式31

4.2 半无界弦及有界弦的振动问题37

4.3 杜阿梅尔原理及非齐次问题的求解40

4.4 三维波动方程44

4.5 降维法46

4.6 MATLAB求解47

习题451

第5章 斯图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题54

5.1 斯图姆-刘维尔本征值问题54

5.2 斯图姆-刘维尔问题的性质59

习题561

第6章 特殊函数62

6.1 贝塞尔函数62

6.1.1 Γ（Gamma）函数62

6.1.2 贝塞尔函数62

6.1.3 第一类贝塞尔函数的性质65

6.2 勒让德函数66

6.2.1 勒让德方程的求解66

6.2.2 勒让德多项式67

6.2.3 勒让德多项式的性质69

习题670

第7章 傅里叶级数71

7.1 傅里叶级数71

7.2 正弦级数和余弦级数73

7.3 以2l为周期的级数74

7.4 有限区间上的傅里叶级数75

习题777

第8章 分离变量法79

8.1 有界弦的自由振动79

8.1.1 用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题79

8.1.2 解的物理意义84

8.2 有界杆的热传导问题85

8.3 拉普拉斯方程和梁振动方程90

8.3.1 矩形区域的拉普拉斯方程90

8.3.2 梁的横振动92

8.4 MATLAB求解94

习题899

第9章 本征函数法102

9.1 本征函数法的引入102

9.2 非齐次问题104

9.3 非齐次边界条件的处理107

9.4 MATLAB求解109

习题9111

第10章 积分变换法113

10.1 傅里叶积分和傅里叶变换113

10.2 傅里叶变换的性质117

10.3 傅里叶变换的应用120

10.4 MATLAB求解128

10.5 拉普拉斯变换128

10.6 拉普拉斯变换的性质130

10.7 拉普拉斯变换的应用134

10.8 MATLAB求解137

习题10138

第11章 格林函数法142

11.1 格林函数法解常微分方程边值问题142

11.2 δ函数的概念及性质148

11.2.1 δ函数的定义148

11.2.2 δ函数的性质150

11.3 格林函数法解偏微分方程初值问题152

11.3.1 一维热传导方程的柯西问题152

11.3.2 一维波动方程的初值问题155

11.4 格林函数法解偏微分方程边值问题158

11.4.1 一维热传导方程的混合问题158

11.4.2 一维波动方程的混合问题160

11.5 拉普拉斯方程的格林函数162

11.6 MATLAB求解164

习题11165

参考答案168

附录一 一阶偏微分方程求解177

1一阶常微分方程组的首次积分177

2一阶线性齐次偏微分方程179

附录二 幂级数解法182

附录三 积分变换表185

参考文献190