超越普特南试题 大学数学竞赛中的方法与技巧【2025|PDF下载-Epub版本|mobi电子书|kindle百度云盘下载】

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1证明的方法1

1.1反证法1

1.2数学归纳法3

1.3鸽笼原理9

1.4有序集与极值元素12

1.5不变量与半不变量15

2代数学21

2.1恒等式与不等式21

2.1.1代数恒等式21

2.1.2 x2 ≥024

2.1.3 Cauchy-Schwarz不等式27

2.1.4三角形不等式30

2.1.5算术平均-几何平均不等式32

2.1.6 Sturm原理35

2.1.7其他不等式37

2.2多项式38

2.2.1预备知识38

2.2.2 Viete关系40

2.2.3多项式的导数43

2.2.4多项式零点的定位45

2.2.5不可约多项式47

2.2.6 Chebyshev多项式49

2.3线性代数52

2.3.1矩阵的运算52

2.3.2行列式53

2.3.3逆矩阵58

2.3.4线性方程组62

2.3.5向量空间，向量的线性组合，基65

2.3.6线性变换，特征值，特征向量67

2.3.7 Cayley-Hamilton与Perron-Frobenius定理70

2.4抽象代数学75

2.4.1二元运算75

2.4.2群78

2.4.3环81

3实分析83

3.1数列与级数83

3.1.1典型例题研究83

3.1.2线性递归序列85

3.1.3数列的极限89

3.1.4关于数列极限的更多知识94

3.1.5级数100

3.1.6可压缩的级数与乘积103

3.2连续性，导数与积分107

3.2.1函数的极限107

3.2.2连续函数109

3.2.3中间值性质112

3.2.4导数及其应用114

3.2.5中值定理118

3.2.6凸函数121

3.2.7不定积分126

3.2.8定积分128

3.2.9 Riemann和130

3.2.10积分不等式133

3.2.11 Taylor级数与Fourier级数136

3.3多元微积分142

3.3.1偏导数及其应用142

3.3.2多元积分148

3.3.3 Stokes定理的许多等价形式152

3.4以函数作为未知数的方程157

3.4.1函数方程157

3.4.2一阶常微分方程162

3.4.3高阶常微分方程165

3.4.4用微分方程方法解答的问题167

4几何学与三角学170

4.1几何学170

4.1.1向量170

4.1.2直线与圆的坐标几何学174

4.1.3平面上的圆锥曲线与其他曲线179

4.1.4三维与多维的坐标几何学185

4.1.5几何学中的积分189

4.1.6其他的几何学问题192

4.2三角学194

4.2.1三角恒等式194

4.2.2 Euler公式197

4.2.3三角代换200

4.2.4三角学中压缩的和与积203

5数论206

5.1整数值的数列与函数206

5.1.1某些一般问题206

5.1.2 Fermat无限下降原理208

5.1.3最大整数函数210

5.2算术212

5.2.1因式分解与可除性212

5.2.2素数213

5.2.3模算术216

5.2.4 Fermat小定理218

5.2.5 Wilson定理221

5.2.6 Euler互素函数222

5.2.7中国剩余定理225

5.3 Diophantine方程226

5.3.1线性Diophantine方程226

5.3.2 Pythagoras方程229

5.3.3 Pell方程231

5.3.4其他的Diophantine方程233

6组合学与概率235

6.1集合论与几何学中的组合论证235

6.1.1集合论与集合的组合学235

6.1.2置换237

6.1.3组合几何学239

6.1.4平面图形的Euler公式241

6.1.5 Ramsey理论244

6.2二项式系数与计数方法246

6.2.1组合恒等式246

6.2.2母函数249

6.2.3计算策略252

6.2.4容斥原理258

6.3概率260

6.3.1等可能情形260

6.3.2建立概率中的关系式263

6.3.3几何概率267

解答271

证明的方法273

代数学304

实分析396

几何学与三角学526

数论587

组合学与概率635

符号索引694

术语索引696