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第1章 预备知识1

1.1 泰勒公式1

1.1.1 一元函数的情形1

1.1.2 多元函数的情形1

1.2 含参变量的积分3

1.3 场论基础5

1.3.1 方向导数及梯度5

1.3.2 向量场的通量和散度10

1.3.3 高斯定理与格林公式12

1.3.4 向量场的环量与旋度17

1.3.5 斯托克斯定理22

1.3.6 梯度、散度和旋度表示的统一高斯公式24

1.4 直角坐标与极坐标的坐标变换25

1.5 变分法基本引理27

1.6 求和约定、克罗内克尔符号和排列符号31

1.7 张量的基本概念35

1.7.1 直角坐标旋转变换35

1.7.2 笛卡儿二阶张量36

1.7.3 笛卡儿张量的代数运算38

1.7.4 张量的商定律39

1.7.5 二阶张量的主轴、特征值和不变量39

1.7.6 笛卡儿张量的微分运算41

1.8 常用不等式42

1.9 名家介绍45

习题149

第2章 固定边界的变分问题51

2.1 古典变分问题举例51

2.2 变分法的基本概念53

2.3 最简泛函的变分与极值的必要条件59

2.4 最简泛函的欧拉方程67

2.5 欧拉方程的几种特殊类型及其积分74

2.6 依赖于多个一元函数的变分问题83

2.7 依赖于高阶导数的变分问题87

2.8 依赖于多元函数的变分问题94

2.9 完全泛函的变分问题102

2.10 欧拉方程的不变性107

2.11 名家介绍112

习题2116

第3章 泛函极值的充分条件122

3.1 极值曲线场122

3.2 雅可比条件和雅可比方程123

3.3 魏尔斯特拉斯函数与魏尔斯特拉斯条件127

3.4 勒让德条件130

3.5 泛函极值的充分条件131

3.5.1 魏尔斯特拉斯充分条件131

3.5.2 勒让德充分条件134

3.6 泛函的高阶变分138

3.7 名家介绍142

习题3143

第4章 可动边界的变分问题145

4.1 最简泛函的变分问题145

4.2 含有多个函数的泛函的变分问题155

4.3 含有高阶导数的泛函的变分问题163

4.3.1 泛函含有一个未知函数二阶导数的情形163

4.3.2 泛函含有一个未知函数多阶导数的情形166

4.3.3 泛函含有多个未知函数多阶导数的情形170

4.4 含有多元函数的泛函的变分问题174

4.5 具有尖点的极值曲线179

4.6 单侧变分问题184

4.7 名家介绍191

习题4192

第5章 条件极值的变分问题194

5.1 完整约束的变分问题194

5.2 微分约束的变分问题198

5.3 等周问题201

5.4 混合型泛函的极值问题210

5.4.1 简单混合型泛函的极值问题210

5.4.2 二维、三维和n维问题的欧拉方程215

5.5 名家介绍219

习题5220

第6章 参数形式的变分问题222

6.1 曲线的参数形式及齐次条件222

6.2 参数形式的等周问题和测地线224

6.3 可动边界参数形式泛函的极值229

习题6232

第7章 变分原理233

7.1 集合与映射233

7.2 集合与空间236

7.3 标准正交系与傅里叶级数243

7.4 算子与泛函246

7.5 泛函的导数252

7.6 算子方程的变分原理254

7.7 与自共轭常微分方程边值问题等价的变分问题256

7.8 与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题260

7.9 弗里德里希斯不等式和庞加莱不等式265

7.10 名家介绍270

习题7273

第8章 变分问题的直接方法276

8.1 极小（极大）化序列276

8.2 欧拉有限差分法278

8.3 里茨法280

8.4 坎托罗维奇法284

8.5 伽辽金法285

8.6 最小二乘法295

8.7 算子方程的特征值和特征函数296

8.8 名家介绍305

习题8306

第9章 力学中的变分原理及其应用309

9.1 力学的基本概念309

9.1.1 力学系统309

9.1.2 约束及其分类310

9.1.3 实位移与虚位移310

9.1.4 应变与位移的关系311

9.1.5 功与能312

9.2 虚位移原理316

9.2.1 质点系的虚位移原理316

9.2.2 弹性体的广义虚位移原理317

9.2.3 弹性体的虚位移原理319

9.3 最小势能原理322

9.4 余虚功原理325

9.5 最小余能原理327

9.6 哈密顿原理及其应用328

9.6.1 质点系的哈密顿原理328

9.6.2 弹性体的哈密顿原理338

9.7 哈密顿正则方程347

9.8 赫林格—赖斯纳广义变分原理351

9.9 胡海昌—鹫津久一郎广义变分原理353

9.10 莫培督—拉格朗日最小作用量原理355

9.11 名家介绍358

习题9360

第10章 含向量、张量和哈密顿算子的泛函变分问题364

10.1 张量内积运算的基本性质与含张量的泛函变分基本引理365

10.2 含向量、向量的模和哈密顿算子的泛函的欧拉方程369

10.3 梯度型泛函的欧拉方程383

10.4 散度型泛函的欧拉方程392

10.5 旋度型泛函的欧拉方程404

10.6 含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函变分问题415

10.6.1 并联式内积张量的梯度、散度和旋度变分公式推导415

10.6.2 含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程及自然边界条件419

10.6.3 含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函的算例421

10.6.4 含并联式内积张量和哈密顿算子串的泛函的欧拉方程427

10.6.5 其他含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程429

10.7 含串联式内积张量和哈密顿算子的泛函变分问题434

10.7.1 串联式内积张量的梯度、散度和旋度变分公式推导434

10.7.2 含串联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程及自然边界条件437

10.7.3 含串联式内积张量和哈密顿算子串的泛函的欧拉方程441

10.7.4 其他含串联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程444

10.8 结论448

10.9 名家介绍449

习题10452

附录1 习题全解457

第1章 预备知识习题解457

第2章 固定边界的变分问题习题解462

第3章 泛函极值的充分条件习题解488

第4章 可动边界的变分问题习题解499

第5章 条件极值的变分问题习题解512

第6章 参数形式的变分问题习题解526

第7章 变分原理习题解531

第8章 变分问题的直接方法习题解538

第9章 力学中的变分原理及其应用习题解559

第10章 含向量、张量和哈密顿算子的泛函变分问题习题解573

附录2 索引599

参考文献618