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第1章 解析函数1

1 复数1

1.1 复数的概念1

1.2 复数的表示3

1.3 复球面与扩充复平面8

1.4 复数的乘幂与方根9

习题1.113

2 复变函数15

2.1 点集与区域15

2.2 复变函数的定义18

习题1.222

3 解析函数23

3.1 复变函数的极限与连续性23

3.2 导数与解析29

3.3 函数解析的充要条件32

3.4 调和函数39

习题1.344

4 初等函数46

4.1 指数函数47

4.2 对数函数48

4.3 幂函数51

4.4 三角函数与双曲函数53

4.5 反三角函数与反双曲函数56

习题1.458

5 解析函数的应用——平面场的复势59

5.1 平面场的复变函数表示59

5.2 流体问题的复势61

5.3 静电场的复势68

习题1.570

1.1 复变函数积分的概念和性质72

1 复变函数的积分72

第2章 柯西积分72

1.2 复变函数积分的计算76

习题2.179

2 柯西定理80

2.1 柯西——古萨基本定理80

2.2 原函数与不定积分83

2.3 复合闭路定理87

习题2.290

3 柯西积分公式91

习题2.395

4 解析函数的导数96

习题2.499

5 关于解析函数的几个定理100

习题2.5105

第3章 级数106

1 复数项级数106

习题3.1110

2 幂级数111

2.1 复变函数项级数111

2.2 幂级数114

2.3 收敛半径的求法116

2.4 幂级数的运算和性质119

习题3.2121

3 解析函数的泰勒展式122

3.1 泰勒定理122

3.2 一些初等函数的泰勒展式125

习题3.3133

4 罗朗级数134

4.1 双边幂级数134

4.2 解析函数的罗朗展式136

习题3.4149

1.1 孤立奇点及其分类151

第4章 留数及其应用151

1 奇点与零点151

1.2 零点及其与极点的关系155

1.3 解析函数在无穷远处的性态158

习题4.1160

2 留数162

2.1 留数的定义与留数定理162

2.2 留数的计算164

2.3 函数在无穷远点的留数168

习题4.2172

3.1 计算173

3 留数在积分计算上的应用173

3.2 计算175

3.3 计算178

习题4.3182

4 辐角原理与儒歇定理183

4.1 对数留数183

4.2 辐角原理185

4.3 儒歇定理187

习题4.4190

1.1 解析变换的保域性191

1 保形映照的概念191

第5章 保形映照191

1.2 解析函数的导数的几何意义192

1.3 保形映照的概念197

习题5.1198

2 分式线性函数及其映照性质199

2.1 分式线性函数199

2.2 保形性202

2.3 保圆性203

2.4 保对称性205

2.5 保交比性206

2.6 分式线性映照的应用210

习题5.2221

3 某些初等函数所构成的保形映照224

3.1 幂函数224

3.2 指数函数232

3.3 儒可夫斯基函娄236

3.4 儒可夫斯基截线242

习题5.3244

4 关于保形映照的黎曼存在定理和边界对应定理247

4.1 黎曼存在定理247

4.2 边界对应定理249

5 多角形的保形映照、计瓦兹——克里斯托费尔公式251

5.1 许瓦兹——克里斯托费尔公式251

习题5.4251

5.2 退化情况257

习题5.5270

6 波松积分公式与狄利克莱问题271

6.1 波松积分公式271

6.2 狄利克莱问题272

习题5.6278

1 傅立叶变换的概念280

第6章 傅立叶变换280

1.1 傅立叶积分定理281

1.2 傅立叶变换282

1.3 傅立叶变换的其他情形286

习题6.1288

2 δ函数及其傅立叶变换290

2.1 δ函数的定义291

2.2 δ函数的性质292

2.3 δ函数的傅立叶变换294

习题6.2297

3 傅立叶变换的性质298

习题6.3302

4 卷积与积分性质303

4.1 卷积303

4.2 卷积的基本性质303

4.3 卷积定理304

4.4 积分性质305

习题6.4308

5 频谱与相关函数309

5.1 频谱309

5.2 能量谱密度315

5.3 相关函数316

习题6.5320

6 傅立叶变换应用举例322

习题6.6325

第7章 拉普拉斯变换326

1 拉普拉斯变换的概念326

1.1 问题的提出326

1.2 拉普拉斯变换的定义327

1.3 拉普拉斯变换的存在定理330

习题7.1332

2 拉普拉斯变换的性质333

习题7.2346

3 拉普拉斯逆变换348

3.1 查表法348

3.2 反演公式350

3.3 海维塞展开式352

3.4 部分分式法354

习题7.3354

4 卷积356

4.1 卷积的概念356

4.2 卷积定理357

习题7.4359

5 拉普拉斯变换的应用360

5.1 求解常微分方程360

5.2 求解偏微分方程364

5.3 线性系统的传递函数366

习题7.5368

附录一 区域的映照表371

附录二 傅立叶变换简表377

附录三 拉普拉斯变换简表382

习题答案或提示389

参考文献413