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第一章 函数1

§1 函数概念的复习与补充1

1．1 函数概念1

1．2 区间的表示法与函数的定义域4

1．3 函数符号与函数的特定值8

§2 函数关系的建立14

2．1 根据几何、代数与三角公式建立函数关系14

2．2 根据物理化学规律建立函数关系17

2．3 根据实验数据建立函数关系（经验公式）19

§3 初等函数21

3．1 基本初等函数21

3．2 初等函数27

3．3 函数图形的绘制30

§4 函数研究的初步问题36

4．1 函数的增减性37

4．2 函数的平均变化率40

第二章 极限与连续45

§1 极限概念45

1．1 问题的提出——极限的简略定义45

1．2 数列的极限52

1．3 函数的极限54

§2 极限的运算法则、两个重要极限57

2．1 极限的运算法则57

2．2 两个重要极限63

§3 关于无穷小量与无穷大量67

3．1 无穷小量和无穷大量67

3．2 函数极限与无穷小量的关系70

3．3 无穷小量的阶71

§4 函数的连续性74

4．1 函数连续性的概念与间断点74

4．2 初等函数的连续性77

4．3 闭区间上连续函数的性质78

第三章 导函数80

§1 导函数概念80

1．1 两个变化率问题80

1．2 导数定义84

1．3 导数的几何意义89

1．4 变化率概念在几何与物理中的一些应用93

§2 导数的计算方法98

2．1 基本初等函数的导数公式98

2．2 函数四则运算的导数公式103

2．3 复合函数的导数公式110

2．4 参数方程求导方法118

§3 加速度问题、高阶导数122

3．1 加速度问题122

3．2 高阶导数124

4．1 极值和最大值小最问题127

§4 导数应用127

4．2 函数作图143

第四章 微分152

§1 微分概念152

1．1 问题的提出152

1．2 微分的概念154

1．3 微分的几何解释157

§2 微分的计算159

§3 微分在近似计算中的应用165

3．1 函数值的近似计算165

3．2 估计误差169

§4 列写微分式举例172

4．1 曲线弧长的微分173

4．2 曲边梯形面积的微分174

4．3 变力做功的微分175

§5 曲率与曲率半径178

5．1 曲线的曲率178

5．2 曲率圆与曲率半径182

第五章 不定积分185

§1 原函数与不定积分的概念185

1．1 问题的提出185

1．2 原函数的概念186

1．3 不定积分的概念188

2．1 基本积分表192

§2 基本积分表和求不定积分的简单法则192

2．2 不定积分简单运算法则194

§3 积分法198

3．1 凑微分法198

3．2 综合例子204

§4 变量置换法与分部积分法210

4．1 变量置换法210

4．2 分部积分法213

§5 不定积分的应用218

附 简单积分表及其用法221

1．1 曲边梯形的面积225

§1 定积分的概念225

第六章 定积分225

1．2 变速运动的路程232

1．3 定积分的定义233

1．4 定积分的几何意义及简单性质235

§2 牛顿-莱布尼兹公式243

2．1 定积分作为上限的函数244

2．2 I（t）=？f（x）dx与f（x）的关系245

2．3 牛顿-莱布尼兹公式246

2．4 定积分作为微分的无限积累248

3．1 定积的性质（续）250

§3 定积分的计算方法250

3．2 变量置换法254

3．3 分部积分法256

§4 近似积分法261

4．1 矩形法262

4．2 梯形法263

4．3 抛物线法（辛普生法）264

§5 积定分的应用271

5．1 平面图形的面积271

5．2 旋转体的体积274

5．3 平面曲线的弧长278

5．4 变力作功问题279

5．5 力矩的计算280

第七章 微分方程285

§1 微分方程的基本概念285

1．1 问题的引出285

1．2 微分方程的基本概念289

§2 常见一阶微分方程的解法292

2．1 最简单的一阶微分方程的解法292

2．2 可分离变量的微分方程的解法293

2．3 一阶线性微分方程的解法297

§3 一阶微分方程的应用举例306

§4 特殊型二阶微分方程314

4．1 y″=f（x）型315

4．2 y″=f（x，y′）型316

4．3 y″=f（y，y′）型317

§5 二阶线性常系数微分方程320

5．1 方程的引出——弹簧振动问题320

5．2 二阶线性常系数齐次微分方程的解法323

5．3 二阶线性常系数非齐次方程的解法330

§6 二阶线性常系数微分方程的应用举例337

§7 微分方程组346

7．1 例题与概念346

7．2 线性常系数微分方程组的解法348

第八章 幂级数352

§1 问题的提出352

§2 数项级数及其收敛性355

2．1 等差级数与等比级数355

2．2 数项级数的收敛性359

2．3 无穷等比级数与P级数366

2．4 判定级数收敛的达朗贝尔准则370

§3 幂级数的收敛问题375

§4 把函数展开为幂级数（台劳级数）381

§5 幂级数在近似计算中的应用391

5．1 求函数的近似值391

5．3 微分方程的幂级数解法394

5．2 计算积分的近似值394

5．4 欧拉公式396

第九章 三角级数399

§1 问题的提出和分析399

1．1 问题的提出399

1．2 问题的简单分析400

§2 非正弦周期函数的三角级数展开式405

§3 几种常见波形的三角级数展开式411

附 三角级数的复数形式428

第十章 空间解析几何432

§1 空间直角坐标系432

1．2 任意两点间的距离433

1．1 空间任意一点的坐标433

§2 空间向量435

2．1 向量的基本概念435

2．2 向量的加减运算436

2．3 向量的乘积438

2．4 向量的坐标表示440

2．5 向量用坐标表示时的运算442

§3 曲面与方程448

3．1 曲面与方程448

3．2 平面方程的建立449

3．3 空间曲线方程452

3．4 一些常见的曲面方程457

第十一章 多元函数微分学464

§1 多元函数464

§2 二元函数的偏导数468

2．1 偏导数468

2．2 高阶偏导数470

2．3 二元函数偏导数的几何意义472

2．4 切平面方程474

§3 全微分476

3．1 全微分概念476

3．2 二元函数全微分的几何意义479

3．3 全微分在估计误差中的应用480

§4 复合函数的偏导数481

§5 多元函数的极值487

5．1 二元函数的极值问题487

5．2 最小二乘法与经验公式493

第十二章 二重积分497

§1 二重积分的概念497

1．1 问题的提出——求曲顶柱体的体积497

1．2 二重积分的定义及性质499

§2 二重积分的计算方法500

2．1 二重积分在直角坐标系中的计算方法500

2．2 二重积分在极坐标系中的计算方法508

§3 二重积分的应用513